domingo, 2 de enero de 2011



Medida de los ángulos

Medida sexagesimal
Cuando consideramos la circunferencia dividida en 360 divisiones iguales, tenemos ángulos iguales de 1° cada uno, utilizamos esta división por tener muchos factores que pueden facilitar el uso de fracciones. De esta manera si dividimos 360° entre cuatro obtenemos 90°, que es lo que corresponde a cada uno de los cuadrantes de la circunferencia. Cada grado está dividido en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos, por ejemplo 20 grados 30 minutos y 50 segundos viene expresado por 20º 30’ 50’’.

Medida centesimal
La circunferencia completa corresponde a 400 divisiones, en consecuencia un cuadrante de 90° sexagesimales les (90 grados sexagesimales) tiene 100° -100 grados centesimales,  un grado (1°) tiene 100 minutos y un minuto (1’) 100 segundos.

Medidas circulares o polares
Una medida independiente de las divisiones del ángulo recto, es la medida circular que corresponde a la longitud de un arco de igual dimensión que el radio de la circunferencia. Esta medida se llama radián y su valor es de 57°, 17 minutos y 44,8 segundos.

Como sabemos al dividir la longitud de la circunferencia entre su diámetro obtenemos una constante llamada pi y cuyo valor es 3,1416, un número irracional que es aquel que no se puede obtener con exactitud mediante una fracción, con aproximación el valor de pi es el cociente entre 22 y 7.
Para obtener el valor de pi se puede seguir el método de Arquímedes, un polígono regular inscrito en una circunferencia al que se incrementan cada vez más el número de lados, posteriormente se divide el perímetro de este polígono entre el diámetro y obtenemos un valor aproximado a pi, cuantos más lados tenga el polígono mas se va aproximando a la longitud de la circunferencia. Si el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro es pi, tenemos que la longitud de la circunferencia es el producto de pi por el diámetro de la misma, o bien dos por pi y por el radio de la circunferencia.
Los ángulos desde el centro de un círculo son proporcionales a los arcos que abarcan, en consecuencia el arco de una semicircunferencia tiene dos ángulos rectos y el arco que su tiende 1 radián es pi veces la semi circunferencia.
Por tanto dos ángulos rectos o 180° sexagesimales equivalen a pi radianes por lo que un radian es igual a 180° dividido entre pi, o sea 57° con 17 minutos y 45 segundos.


Conversión de unas medidas en otras

Pasar de grados, minutos y segundos a grados. Si por ejemplo tenemos 3° 6' 2''  y los queremos pasar a grados, cogeremos 3° y le sumaremos 6 minutos multiplicados por 1° dividido entre 60 minutos y le sumaremos nuevamente 2 segundos por 1° dividido entre 3600 segundos. Al sumar los tres términos tendremos el número correspondiente pasado a grados. 
3 + 6/60 + 2/3600 = 3 + 0,1 + 0,00055= 3,10055º
Otro ejemplo: 20º 3' 15''        20 + 30/60 + 15/3600 = 20 + 0,5 + 0,004=  20,504º

Si por ejemplo queremos cambiar de grados a grados, minutos y segundos, por ejemplo el número 33,22° queremos convertirlo en grados, minutos y segundos, separamos 33 de su parte decimal (0,22) y la multiplicamos por 60 minutos que tiene 1°, obteniendo 13,2. (0,22 × 60 igual a 13,2)
Tomamos del 13,2 el valor decimal a la izquierda que es 0,2 y lo multiplicamos por 60 segundos que tiene un minuto, obteniendo 36 segundos. (0,2 × 60 igual a 36)
Tenemos por tanto que 33,22° es igual a 33° 13' 36''.
Como podemos observar el procedimiento que hemos seguido ha sido separar los números que están a la derecha de la coma y los hemos multiplicado por 60 (que son los minutos que tiene 1°), obteniendo un nuevo número -que corresponde a los minutos- en el que volvemos hacer lo mismo, tomamos los números que están a la derecha de la coma y los multiplicamos nuevamente por 60 (que son los segundos que tiene un minuto), obteniendo un nuevo número que son los segundos. Las tres cifras corresponden a los grados, minutos y segundos equivalentes al número dado en grados.
Otro ejemplo, tenemos 21,53° y queremos transformarlo en grados, minutos y segundos. Tomamos 0,53 y lo multiplicamos por 60 obteniendo 31,8. De esta última cifra tomamos 0,8 y lo multiplicamos por 60, obteniendo 48. Tomamos la primera cifra sin decimales que es 21 y tenemos que son los grados, tomamos la segunda cifra sin decimales que es 31 y son los minutos, tomamos por último la última cifra calculada y es 48, que son lo segundos. Por tanto la solución es 21° 31' 48''

Si queremos pasar de radianes a grados, como sabemos que pi radianes corresponde a 180° habrá que multiplicar los pi radianes por 180°.
Por ejemplo si tenemos 3pi/5  radianes, al multiplicarlos por 180 obtenemos 108°, que es en realidad 3/5 de 180°. Es como dividir la semicircunferencia en cinco partes y tomar tres.
Por tanto 3pi/5.180=108°

Si queremos pasar minutos a grados, dividiremos los minutos dados entre 60 minutos, ya que 1° corresponde a 60 minutos. Por ejemplo para transformar 0,8 minutos en grados operamos de la forma siguiente:
0,8'. 1°/60'= 0,013° 

Para pasar de grados a minutos haremos la operación contraria, multiplicaremos por 60 minutos los grados dados, ya que 60 minutos son las unidades que corresponden a 1°.
Por ejemplo, si queremos pasar 0,8° a minutos, hacemos la siguiente operación:
0,8°. 60/1°= 48'

Web calculadora: http://es.calcumeter.com/calculadora/conversor-de-medidas-grados/


Ángulo:
Un ángulo es el grado de amplitud entre dos rectas que se cortan, decimos que es agudo cuando es menor que un ángulo recto mientras que si es mayor decimos que es obtuso. Ángulos complementarios son aquellos que suman 90° (por ejemplo 60° y 30° son complementarios ya que ambos suman 90°, y cada uno por tanto es complementario del otro), mientras que suplementarios son los que suman 180°. Por ejemplo 130° y 50° son suplementarios y cada uno es suplementario del otro.

Teoremas sobre ángulos:
Si dos rectas se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales. En el dibujo podemos ver los ángulos iguales, todos los amarillos son iguales por ser opuestos por el vértice. Como las 2 líneas son paralelas y están cortados por una oblicua o transversal, los ángulos que se producen son iguales por lo que todos los ángulos azules son idénticos y los ángulos amarillos también.
Podemos decir entonces: si dos líneas son paralelas (aquellas que tienen sus puntos equidistantes y en la misma dirección), al cortarlas con una recta que denominamos transversal determinan ángulos alternos idénticos.
Los ángulos correspondientes del mismo lado de la transversal son iguales. por ejemplo, el ángulo azul y amarillo de la circunferencia superior son idénticos a los de la circunferencia inferior.
Los ángulos interiores dentro del mismo lado de la línea transversal suman 180° sexagesimales: por ejemplo, el ángulo a más el ángulo b suman 180°.

Ángulos de igual color son iguales en el dibujo:


Triángulos
Triángulo rectángulo es aquel que tiene uno de sus ángulos rectos, su lado opuesto se llama hipotenusa y los demás lados catetos. Un triángulo equilátero es aquel que tiene todos los lados iguales, isósceles tiene dos y escaleno tiene todos distintos. Un triángulo obtusángulo tiene uno de sus ángulos obtuso (mayor de 90°) mientras que el acutángulo tiene todos los ángulos agudos (menores de 90°).
 Triángulos semejantes son aquellos iguales de forma pero de distinto tamaño, por tanto tienen todos los lados correspondientes proporcionales. Cuando los triángulos semejantes tienen todos sus vértices alineados con un centro O se denominan homotéticos de centro O.

Cuadriláteros
Un cuadrilátero es una forma plana determinada por cuatro lados. La diagonal es la línea que une vértices opuestos. El cuadrado tiene todos sus lados y ángulos iguales. El rombo tiene todos los lados iguales y sus diagonales perpendiculares entre sí aunque los ángulos de la figura no son de 90°. El rectángulo tiene todos los lados opuestos iguales y sus ángulos rectos. Sus diagonales son siempre iguales y se cortan en el punto medio de las mismas. El paralelogramo es aquel cuadrilátero que tiene los lados opuestos paralelos y del mismo tamaño, sus ángulos opuestos son siempre iguales y sus diagonales se cortan en el punto medio. El trapecio es aquel que tiene dos lados opuestos paralelos mientras que el trapezoide tiene todos los lados y ángulos distintos.

Círculos y circunferencias
El círculo es una figura plana limitada por una circunferencia que es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de otro llamado centro de la circunferencia y del círculo. Un arco es una porción de la circunferencia mientras que la cuerda es la línea que une los extremos de un arco cualquiera. Cuando la cuerda pasa por el centro de la circunferencia tenemos un diámetro que divide al círculo en dos partes iguales llamadas semicírculos.
Un segmento circular es el trozo del círculo limitado por una cuerda y su arco correspondiente. Existe un segmento circular mayor y otro menor, el mayor es el que deja el centro dentro de su círculo correspondiente.
Un sector circular en la figura limitada por dos radios y el arco que corresponde a los mismos. Dos círculos concéntricos determinan en su parte exterior una corona circular.


Ángulo de elevación o altitud es aquel que sirve para determinar la altura de un elemento lejano. Si trazamos una recta que una nuestro punto de vista A con el punto lejano B que está a cierta altura tenemos una recta, está recta forma con la línea horizontal coplanaria con la anterior y situadas en un plano vertical un ángulo que llamamos de elevación. La altitud del sol es el ángulo de elevación del sol, o sea, el ángulo que forma el conjunto de rayos solares considerados paralelos con sus proyecciones horizontales correspondientes sobre el suelo.
Si desde el punto B que hemos observado anteriormente hacemos una línea horizontal y lo unimos con la primera línea anterior AB tenemos un ángulo llamado de depresión que es igual al ángulo de elevación (el ángulo azul es igual al ángulo rojo). El ángulo de elevación es el que se toma desde el suelo (en color azul), mientras que el ángulo de depresión es el que se toma desde el elemento que está situado en la parte superior (en color rojo). Los dos ángulos se miden respecto a dos horizontales,  la que se considera desde el punto de vista de abajo y la que corresponde al punto superior.



Los logaritmos

Un número elevado a n veces representa ese número multiplicado por sí mismo n veces. Por ejemplo cinco elevado a tres es lo mismo que 5 × 5 × 5. El exponente tres indica el número de factores.

Algunas leyes fundamentales sobre los exponentes: considerando n como un número entero positivo se pueden dar los siguientes casos:

a4= a . a . a . a,

a . an = a(m+n)

am / an = a(m-n)

( am)= a m.n

Tenemos además los siguientes casos:

1 / an = a-n

a0,5 x a0,5 = a (0,5+0,5) = a1

a(m/n) = raíz n de a m


Logaritmo de un número en una base dada es el exponente al que se debe elevar la base para obtener dicho número.
Por ejemplo:
Ocho es igual a dos elevado al cubo
Tres es el logaritmo de ocho en base dos.
8 = 23
se expresa de la siguiente forma:

log  2 8 = 3




La trigonometría estudia las relaciones métricas entre los distintos elementos de un triángulo.
Un arco de una circunferencia es una porción limitada por dos puntos ordenados, origen y extremo.
Para medir el arco es necesario determinar el origen, el extremo, el sentido que sigue y por último la unidad de medida.

Unidades.

El grado sexagesimal divide a la circunferencia en 360 partes iguales, cada grado en otras 60 partes iguales o minutos y cada minuto en otros 60 segundos.
El grado centesimal divide a la circunferencia en 400 partes y por tanto a cada cuadrante en 100. Cada grado se divide en 100 minutos y cada minuto en 100 segundos, se representa por las letras g m s.
El radián es un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Pi radianes equivale a 180º (3,14 veces el radio sobre la circunferencia es la longitud de la semicircunferencia).



Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com Equivalencia entre coordenadas cartesianas (punto negro P con sus coordenads) y las polares: pi es 180º, D es la mitad de pi, C 1/4 de pi y E 3/4 de pi.
Mover P para ver las equivalencias. Ejemplo el punto P(2,8 , 2,8) en coordenadas cartesianas equivale a (4, 45º) en coordenadas polares, esto es, P está localizado a 45º respecto al eje x a una distancia (radio) de 4 unidades.

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  Razones goniométricas de un ángulo

Seno de un ángulo es el cociente de la ordenada entre el extremo del arco a su radio.
Coseno de un ángulo que es el cociente de la abscisa del extremo del arco a su radio.
Tangente del ángulo es la razón de la ordenada a la abscisa del extremo del arco.
Cosecante de un ángulo es la razón del radio a la ordenada del extremo del arco.
Secante de un ángulo es la razón del radio a la abscisa del extremo del arco.
Cotangente de un ángulo es la razón de la abscisa a la ordenada del extremo del arco.












Los elementos que definen las razones trigonométricas son el radio, la abscisa y la ordenada. La ordenada es positiva en el primer y segundo cuadrante y la abscisa en el primero y cuarto cuadrante, en los demás ambas son negativas.
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En la figura podemos observar las razones trigonométricas según otra disposición distinta del dibujo anterior, la tangente aparece en color rojo y podemos disponerla mediante una vertical FD o bien mediante una oblicua CH tangente en el punto C, como podemos ver son ambas simétricas respecto a un radio de la circunferencia.
La secante es la recta amarilla AC que va desde el origen de coordenadas hasta el punto donde corta a la tangente en F. También es la distancia desde el origen de coordenadas hasta el punto de intersección de la tangente CH con el eje x. Como podemos ver en el dibujo AF es simétrica de AH respecto a un radio de la circunferencia.
En color azul tenemos una recta tangente en el punto B hasta que corta a la secante, es la longitud que corresponde a la cotangente BG. Como podemos ver en el dibujo también es la prolongación de la tangente CH hasta la vertical AI. Ambos segmentos de color azul son en realidad la cotangente, rectas simétricas respecto a otro radio de circunferencia. 
Por último la cosecante es la recta verde coincidente con la hipotenusa desde el origen de coordenadas hasta donde corta a la cotangente, esto es, el segmento AG. Como podemos ver su simétrico respecto a un radio de la circunferencia es la longitud también de color verde AI.

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En la figura observamos un triángulo rectángulo del que podemos calcular los siguientes elementos:
Si conocemos el cateto vertical y la hipotenusa, su cociente es el valor del seno del ángulo, si conocemos su cateto horizontal y su hipotenusa, su cociente es el coseno del ángulo.
Si conocemos los dos  catetos, su cociente es la tangente del ángulo. 
Respectivamente, al conocer los datos anteriores, podemos al voltear el numerador y el denominador obtener el valor de la cosecante, la secante y la cotangente, ya que éstas son las funciones trigonométricas inversas de las anteriores.



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En la figura podemos ver cómo se obtiene el seno y coseno de 45° utilizando el teorema de Pitágoras.
Como tenemos que cada cateto vale raíz de dos partidos por dos, tenemos además que la hipotenusa vale la unidad en la circunferencia unitaria, el seno es HI partido por la unidad, mientras que el coseno es EI partido también por la unidad, por tanto el seno y coseno de 45° es el valor correspondiente a las dimensiones de los catetos.

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En la figura calculamos también seno y coseno de 60 y 30° mediante el procedimiento anterior.
Como la hipotenusa del círculo unitario es la unidad, tenemos que la mitad de la hipotenusa es 0,5, de esta manera podemos obtener el valor del otro cateto por el teorema de Pitágoras, que es 0,87.
En consecuencia el seno de 60º es CD/AC, esto es, 0,87 dividido entre uno. La misma longitud tenemos para el coseno de 30°. De igual forma tenemos que el coseno de 60° es la mitad del lado, AD/AC, esto es, 0,5 dividido entre uno, o sea 0,5. En el dibujo podemos observar que el seno de 30º es también AD/AC, por tanto su valor es también 0,5.


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En la figura tenemos un círculo unitario o circunferencia unitaria o trigonométrica, que es aquella que tiene por radio la unidad. Gracias a considerar esta circunferencia tenemos que no es necesario dividir los catetos entre la hipotenusa, ya que su valor es l, por tanto el valor del seno es directamente la dimensión del cateto vertical y la del coseno es el cateto horizontal.
Los puntos de intersección de los dos ejes con la circunferencia unitaria determinan el valor del coseno y del seno de los ángulos respectivos: por ejemplo, para el ángulo 0º, tenemos un coseno de valor unidad y un seno de valor cero, ambos puntos son las coordenadas del punto de intersección del eje x  por la derecha con la circunferencia (1,0).
Otro ejemplo tenemos el caso del eje vertical que corta por la parte superior a la circunferencia en un punto de coordenadas x igual a cero y igual a uno (0,1), el ángulo que corresponde a este eje es el del primer cuadrante cuyo valor es 90°, por tanto el coseno de 90 es cero o primera coordenada del punto y el seno de 90° es uno, o coordenada en y del punto de intersección.




Para poder recordar el seno y coseno de 30°, 45° y 60°, escribimos para el seno 123 en el numerador de las tres razones correspondientes a 30°, 45° y 60°, mientras que para el coseno lo hacemos al revés: 321 en el numerador. 
A continuación dividimos todos los números por el número dos y aplicamos la raíz cuadrada al numerador de todos. 
Esas son las razones trigonométricas de los tres ángulos, en el caso del seno de 30° y el coseno de 60° tenemos que tomar en el numerador la raíz cuadrada de uno en su valor positivo, ya que el valor de ambas razones es un medio.



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En el dibujo podemos ver la función seno y coseno de un ángulo, podemos observar también las coordenadas de los puntos BCDE. La coordenada en x corresponde al coseno del ángulo, mientras que la coordenada en y corresponde al seno del ángulo.
Por ejemplo, si cogemos el punto E, tenemos que el coseno de 0° vale uno, el valor delradio de la circunferencia, mientras que el seno del ángulo vale cero. Son por tanto las coordenadas del punto E.

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Relaciones fundamentales en trigonometría:

El valor de la cosecante del ángulo es inverso del correspondiente al seno, de igual forma la secante respecto al coseno y la cotangente respecto a tangente.
El seno del ángulo es igual a uno partido por la cosecante del ángulo.
La tangente del ángulo es igual a uno partido por la cotangente del ángulo.
La tangente del ángulo es igual al seno del ángulo partido por el coseno del ángulo.
La cotangente del ángulo es igual al coseno del ángulo partido por el seno del ángulo.
El seno al cuadrado del ángulo más el coseno cuadrado del ángulo es igual a uno.


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Obtención de las relaciones por proporcionalidad:



En la figura podemos observar la relación que existe entre la cosecante y el seno. Por proporcionalidad observamos que la longitud (en color rojo) de la cosecante es al radio (en color azul), como la longitud del radio (esta vez la porción de color rojo) es al seno  (proyectado sobre la vertical).




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En la figura podemos ver la relación que existe entre la tangente y la cotangente, son funciones recíprocas, podemos observar por proporcionalidad que la tangente (longitud de color verde) es al radio de la circunferencia unitaria y cuyo valor es uno -en color rojo- como el valor del radio proyectado mediante una traslación paralela al final de la cotangente -en color violeta- es a la cotangente proyectada sobre el radio horizontal (en color azul). Ambos triángulos son proporcionales con lo que se confirma la igualdad.






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En la figura podemos observar la relación que existe entre la secante y el coseno. Como podemos comprobar la secante o segmento de color rojo se proyecta sobre el horizontal cuyo valor es el del radio de la circunferencia unitaria, esto es, una unidad. Podemos observar el otro triángulo semejante, el radio de color verde y cuyo valor es uno se proyecta sobre el coseno, que es el segmento azul o proyección horizontal del segmento verde. Podemos comprobar la semejanza entre los triángulos, la hipotenusa roja es al cateto violeta como la hipotenusa verde es al cateto azul, con lo que se verifica la igualdad.



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Reducción de las razones trigonométricas al primer cuadrante 




Como podemos ver en el dibujo, el seno de 31,62° es igual al seno de 180° -31,62°, ya que los dos acentos verticales de color verde son iguales y tienen el mismo signo. el coseno de 31,62° es el segmento horizontal que está sobre el eje x. Si tomamos 180° menos ese ángulo obtenemos el coseno simétrico del anterior respecto al eje y punto como podemos ver tiene la misma dimensión que el anterior pero signo contrario.
De igual forma la tangente de ese ángulo que sería la recta vertical que trazaríamos por el punto (1,0) hasta que cortara a la prolongación del radio A'1-C, tenemos que es una recta que aparece en el primer cuadrante, en cuyo espacio el seno y el coseno del ángulo son positivos, siendo por tanto la tangente también positiva ya que es el cociente entre ambos.
En el segundo cuadrante tenemos que en la tangente de 180° menos ese ángulo es igual al seno de ese ángulo dividido entre el -coseno de ese ángulo, por tanto tenemos que el valor de la tangente es el mismo pero tiene signo negativo.

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En la figura hemos tomado un ángulo de 25,77°, podemos observar su seno en color verde claro concretado en un segmento vertical y podemos observar el coseno de su ángulo dibujado sobre el eje x en color verde obscuro. Si cogemos el ángulo recto y le restamos 25,77°, podemos observar un nuevo triángulo idéntico al anterior en el que se invierte el coseno y el seno del ángulo tomado anteriormente.
El seno del ángulo es igual por tanto al coseno de 90° menos el ángulo dado mientras que el coseno del ángulo 25,77° es igual al seno de 90° -25,77°. Se puede comprobar en el dibujo que efectivamente el nuevo triángulo más alto tiene su cateto vertical igual al cateto horizontal del primero y recíprocamente.
Si dibujamos la tangente, podemos observar que tendrá una longitud ligeramente mayor que el seno de ese ángulo y que coincide exactamente con la cotangente del nuevo triángulo.

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En la figura podemos observar un ángulo alfa de 50,94°, hemos representado gráficamente la dimensión de su seno o cateto vertical y de su coseno o cateto horizontal. Vamos a ver la relación que existe entre estos segmentos del primer cuadrante y los del tercer cuadrante. Como podemos comprobar el nuevo ángulo es el mismo que el dado, (50,94°) +180°. Podemos observar por tanto que el seno D'C' tiene el mismo valor que el original de 50,94° pero de signo contrario, lo mismo ocurre con el coseno. La tangente del primer cuadrante era positiva por ser el cociente entre el seno y el coseno del ángulo, en el tercer cuadrante como el seno y el coseno del ángulo tienen signo negativo, el cociente entre ambos determina una dimensión positiva.



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En la figura podemos observar la relación que existe entre el seno y el coseno de un ángulo del primer cuadrante y el seno y el coseno de ese mismo ángulo sumándole 90°. Como podemos ver en el dibujo el seno del ángulo original es igual al coseno del ángulo pero de signo contrario, el coseno del ángulo 26,57° es igual al seno del ángulo +90°, ambos positivos.
Como tenemos que el valor del seno es positivo y del coseno es negativo en este nuevo ángulo al que le hemos sumado 90°, tenemos que la tangente positiva se transforma en cotangente negativa en este segundo cuadrante. 


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En la figura podemos observar la relación que existe entre el seno y el coseno de 26,57°, un ángulo cualquiera del primer cuadrante, y otro ángulo correspondiente a toda la circunferencia completa menos el ángulo dado. Gráficamente podemos ver que el seno del ángulo original es igual al menos seno del ángulo nuevo. El coseno también podemos observar en el dibujo que son coincidentes, por tanto tienen la misma dimensión y el mismo signo. Como el seno del nuevo ángulo es negativo y el coseno es el mismo que el original y por tanto de signo positivo tenemos que la tangente del ángulo tendrá la misma dimensión pero signo contrario  (- / + = -).

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Ejercicios

En la figura tenemos la longitud horizontal del triángulo, cuya medida es 2,3, y la longitud vertical cuya medida es 1,93. Ambas medidas corresponden a un triángulo rectángulo del que se pide el ángulo que forma la horizontal con la hipotenusa.
La tangente del ángulo es igual al cociente entre la medida vertical y la horizontal, si dividimos ambas medidas tenemos que el cociente vale 0,82. El arco cuya tangente tiene por medida 0,82 corresponde a un ángulo de 40°, eso lo podemos obtener en la calculadora o bien en este mismo blog en el último cuadro correspondiente a la circunferencia unitaria, moviendo el punto rojo y observando el valor de la tangente que corresponde en este dibujo al segmento FD.



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En el dibujo podemos observar que tenemos 2 datos, la hipotenusa de un triángulo y el ángulo que forma respecto a la horizontal, se pide la dimensión de la proyección de la hipotenusa sobre el segmento horizontal.
Como tenemos que el coseno del ángulo es el segmento b o proyección horizontal de la hipotenusa dividido entre la longitud de la hipotenusa, podemos obtener el valor de coseno del ángulo.
El coseno del ángulo es por tanto igual a b dividido entre tres, el valor de la hipotenusa. Despejando el tres, tenemos que b es igual a tres por el coseno de 28,6º.
Vamos al cuadro de abajo de la circunferencia unitaria y movemos el punto rojo para ver cuánto vale el coseno de 28,66°, observamos que la longitud del segmento cuando el radio vale 1 es 0,88.
Por tanto al multiplicar este número por la hipotenusa -3- obtenemos el valor de b -2,63.





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En la figura tenemos el ángulo que forma la hipotenusa con la horizontal y la hipotenusa de un triángulo. Nos piden que calculemos la dimensión del segmento vertical a.
Como sabemos que el seno del ángulo es igual a la longitud vertical dividido entre la hipotenusa, tenemos que el seno de 61° es igual a la longitud vertical a dividido entre el valor de la hipotenusa, que es tres. 
Miramos abajo en el blog cuál es el valor del seno de 61° cuando el radio de la circunferencia unitaria vale uno y observamos que es 0,87. Al multiplicar este número por tres obtenemos el valor de la dimensión de el segmento vertical a, que es 2,6.






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En este ejercicio tenemos la hipotenusa y el segmento vertical del triángulo rectángulo, nos piden el ángulo que forma la hipotenusa con su proyección horizontal.
Como sabemos que el seno del ángulo es el resultado de dividir el segmento vertical entre la hipotenusa, calculamos el cociente de ambos (2,73 dividido entre tres) obteniendo como resultado 0,91.
Por tanto el seno del ángulo vale 0,91 y conforme podemos observar en el cuadro de abajo a mover el punto rojo tenemos que el ángulo cuyo seno vale 0,91 es de 65°. (Al mover el punto rojo y tener un segmento vertical de 0, 91 unidades, observamos que el ángulo que se forma es de 65°).



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En la figura podemos observar un triángulo rectángulo del que tenemos su hipotenusa -cinco unidades- y el valor de su proyección sobre el segmento horizontal AE, que es 3,91. Como tenemos que el coseno del ángulo es el que corresponde al cociente de 3,91 dividido entre cinco, tenemos que el valor es 0,7. El ángulo cuyo coseno corresponde a 0,7 unidades es de 38,62°.
El seno del ángulo es el cociente resultante de dividir el segmento vertical x entre la altura 5. Como el seno de 38,62° es 0,62, según podemos comprobar en el cuadro inferior de abajo al mover el punto rojo, al multiplicarlo por cinco obtenemos el valor del cateto vertical x, cuya medida es 3,1.
Para calcular la tangente  del ángulo dividimos el valor del seno del ángulo entre el coseno del ángulo,obteniendo el valor de 0,79, ésta sería la medida correspondiente al segmento FD en la circunferencia unitaria. Si queremos calcular el valor real del segmento FD sobre esta figura lo multiplicaremos por cinco unidades, que es el valor de la hipotenusa o radio de la circunferencia.






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En la figura tenemos un triángulo rectángulo del que conocemos el valor de su hipotenusa h y el ángulo que forma ésta con su proyección horizontal AE. Se pide calcular el valor del cateto vertical x.
Como sabemos que el coseno del ángulo es igual al cateto opuesto x dividido entre la hipotenusa, dividimos x entre cinco y lo igualamos al seno del ángulo dado, 80,34°. Despejando el denominador tenemos que x es igual a cinco por el seno de 80,34°. En el cuadro de abajo movemos el punto rojo hasta encontrar ese ángulo y observamos el valor del seno que es en realidad en la circunferencia unitaria el valor del cateto vertical. Tenemos por tanto que el seno de 80,34° es 0,99 unidades que multiplicado por cinco obtenemos un valor de 4,9. Esta es la longitud del cateto vertical x.




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En la figura tenemos un triángulo rectángulo del que nos piden la dimensión AF, es la que corresponde a la secante de la circunferencia unitaria del cuadro más abajo expuesto. Los datos que tenemos son la hipotenusa de valor 4 y la dimensión de su proyección horizontal, 3,22.
Como la secante del ángulo es igual a la unidad dividida entre el coseno del ángulo y el coseno del ángulo es el valor de la proyección horizontal de la hipotenusa, esto es 3,22 dividido entre la hipotenusa cuyo valor es cuatro, pasando el cuatro al numerador tenemos que el valor de la secante del ángulo es 1,24. En el cuadro inferior movemos el punto rojo hasta observar cómo se forma una secante cuyo valor es 1,24, observando el ángulo que se forma tenemos que su valor es 36,37. Como la hipotenusa vale cuatro unidades, multiplicamos cuatro unidades por el valor de la secante unitaria, que es 1,24, obteniendo 4,9 unidades de dimensión, esta medida es la que corresponde en el dibujo a la longitud AF.




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En la figura tenemos un triángulo rectángulo del que conocemos las medidas de sus dos catetos. Se pide calcular el ángulo que forman la hipotenusa y su proyección horizontal.
Como sabemos que  la tangente del ángulo es igual al seno partido por el coseno  del ángulo, dividimos el valor de la longitud vertical 4,46 entre el valor de la longitud horizontal, 5,4, obteniendo como cociente 0,82 unidades. Yendo al cuadro inferior de este blog y moviendo el punto rojo de la circunferencia podemos observar que la tangente correspondiente a 0,82 unidades de longitud es de 39,5°.
En el dibujo hemos calculado la longitud real para este caso del segmento FD. Como la hipotenusa vale siete unidades, hemos multiplicado el 7 × 0,82, de esta manera tenemos que el producto es 5,8, por tanto la longitud de esta tangente vertical FD a la circunferencia es en la realidad esta medida, siete veces mayor que la que correspondería a una circunferencia cuyo radio o hipotenusa fuera uno.





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Dado un triángulo rectángulo del que se conocen los dos catetos, se pide calcular el valor de la tangente y de la cotangente en ese mismo triángulo, así como el ángulo que forma la hipotenusa y su proyección.
El valor de la hipotenusa lo obtenemos por el teorema de Pitágoras: hipotenusa al cuadrado es igual al cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado. 
La tangente del ángulo sabemos que es el cociente entre el seno y el coseno del ángulo, por tanto al dividir la longitud vertical entre la horizontal tenemos el valor del cociente que es 0,63, Comprobando abajo en el cuadro del círculo unitario y moviendo el punto rojo observamos que esta longitud corresponde a un ángulo de 32,4°. Como el radio la circunferencia tiene siete unidades, multiplicamos 0,63 × 7 obteniendo la longitud del segmento vertical FD, que es la longitud real FD en esta figura, 4,4.
Como sabemos que la cotangente es la inversa de la tangente, dividimos la longitud horizontal, 5,91 entre la longitud vertical 3,7, obteniendo como resultado 1,57. El ángulo cuya cotangente tiene por valor 1,57 corresponde a 32,4°. Al multiplicar esta dimensión por siete, obtenemos la medida real 11,03 del segmento horizontal BG, que es en realidad el valor de la cotangente de la circunferencia unitaria multiplicado por siete.


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En la figura tenemos en el triángulo rectángulo la dimensión de la hipotenusa y de su proyección horizontal. Nos piden el valor del ángulo que forma la hipotenusa y su proyección horizontal y el valor de la secante en la circunferencia unitaria, que como sabemos es la longitud AF en la circunferencia unitaria, conforme podemos ver abajo en el cuadro de geometría dinámica al mover el punto rojo del círculo unitario.
Como tenemos que la secante es la inversa del coseno, calculamos el valor del coseno dividiendo la dimensión horizontal entre la hipotenusa: 5,91 dividido entre 7.
Como la secante del ángulo es la inversa de esta operación, pasamos el siete al numerador y lo dividimos entre 5,91 obteniendo 1,18. La dimensión de la secante en la circunferencia unitaria es 1,18 y el ángulo que corresponde a esta dimensión es de 32,4.



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En la figura tenemos un punto cuyas coordenadas cartesianas son (6,7). Se pide hacer un estudio de la tangente y del coseno para el ángulo alfa.
Tenemos en el triángulo rectángulo un cateto vertical de medida siete y otro horizontal de medida seis, dividimos el primero entre el segundo y obtenemos el valor de la tangente, que es 1,17 - lo podemos ver también dibujado en el segmento DH. 
Vamos a la circunferencia unitaria y movemos el punto rojo hasta observar a que ángulo corresponde esta medida, observamos que su valor es 49,4°.
Para calcular el valor de AC tenemos que el coseno del ángulo es igual a AJ (seis unidades) dividido entre AC,  es 0,65. Comprobamos en la circunferencia unitaria al final del blog que el ángulo  cuyo coseno es 0,65, es de 49,4°; despejamos AC y tenemos que 6 dividido entre 0,65 es 9,2.




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En la figura tenemos dos objetos C I que los observamos desde un punto A bajo un ángulo de elevación de alfa y phi, respectivamente. Se pide calcular el valor de sus ángulos sabiendo que ambos objetos están a una altura de tres unidades y que el primero dista de A cuatro unidades, mientras que el segundo está a siete unidades. Como la tangente de un ángulo es el cociente entre el seno y coseno de ese mismo ángulo, al dividir el cateto vertical por el cateto horizontal de ambos triángulos, obtenemos 0,75 y 0,42.
Observando el círculo unitario en el borde inferior del blog, al mover el punto rojo observamos que la tangente de ambos ángulos es de 36,8° y 23,2°, respectivamente.





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En la figura se pide calcular la longitud AG, sabemos la longitud del radio (7 unidades) o hipotenusa del triángulo del que conocemos también su segmento vertical CE y cuyo valor es 4,48.
Tenemos que el seno del ángulo m es igual a 4,48 dividido entre 7, pero nos interesa la cosecante, que es la inversa del seno, por tanto tendremos que dividir 7 entre 4,48 obteniendo 1,56, que es el valor de la cosecante AG del ángulo m.
Tenemos no obstante que el valor de la cosecante no es el valor real de AG, sino que es el valor de AG siempre y cuando el radio AC tuviera por valor la unidad. Como el radio mide siete unidades, tenemos que AG tendrá siete veces el valor calculado anteriormente. Por tanto al multiplicar 1,56 × 7, obtenemos el valor real de AG, que es 10,93.





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En la figura observamos un triángulo rectángulo del que se pide calcular la tangente, la cotangente, la secante  y la cosecante. 
Tenemos la dimensión de los dos catetos, dividiendo el vertical por el horizontal obtenemos 1,19, el ángulo que corresponde a una tangente de 1,19 unidades es de 49,9°. Calculamos la hipotenusa por el teorema de Pitágoras y tenemos que sus dimensión es siete, multiplicado por el valor de la tangente (1,19) tenemos la medida 8,33, que es la que corresponde en la figura a DF.
La inversa de la tangente es la cotangente (dimensión BG). Invirtiendo numerador y denominador, al dividir 4,5 entre 5,36 obtenemos 0,83, que multiplicado por siete (la hipotenusa) determina el valor de BG (5,88) en el dibujo.
La secante es la inversa del coseno por lo que dividiremos el cateto horizontal entre la hipotenusa obteniendo 1,5 unidades, que multiplicadas por la hipotenusa determinan el segmento AF o secante que está comprendida entre el centro de la circunferencia A y la prolongación de la hipotenusa hasta que corta a la tangente en F.
Para determinar la cosecante, sabemos que es la inversa del seno por lo que dividiremos la hipotenusa entre el cateto vertical. El cociente vale 1,3 que multiplicado por la hipotenusa tenemos 9,14, es la dimensión del segmento AG, que corresponde a la longitud de la prolongación de la hipotenusa hasta que corta a la tangente a la circunferencia por B.






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Queremos calcular la dimensión de un segmento vertical n que está a cierta altura, su punto superior H lo observamos bajo un ángulo de elevación de 49,83°, mientras que el punto inferior del segmento C lo observamos con un ángulo de elevación de 32,4°. Sabemos también que la proyección del segmento sobre el plano vertical está a 5, 91 m de nuestra posición.
La tangente del ángulo 32,4° es igual a el segmento vertical m dividido entre 5,91, despejando m obtenemos su valor: 3,78 metros.
La tangente del ángulo 49,83° es igual al cateto vertical (m + n) dividido entre 5,91 - el cateto horizontal.
En la circunferencia unitaria observamos que el valor de esta tangente es 1,18, que multiplicado por 5,91 se obtiene 6,97 al que restamos 3,78, que es el valor de m calculado anteriormente, obteniendo así 3,2 m que es el valor de n.








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Queremos calcular la longitud del segmento k que observamos bajo un ángulo de elevación desde el punto A bajo un ángulo de 20,43°.  sabemos que la longitud Ci  -su prolongación hasta el suelo- la observamos bajo un ángulo de 28,17°.
Conocemos además la distancia AE, longitud comprendida entre el punto de observación A y la intersección de HC con el suelo.
La suma de ambos ángulos dados es 48,6°, la tangente de este ángulo será K+i  dividido entre 6,17, mientras que la tangente de 28,17° será i entre 6,17, tal y como podemos ver en el dibujo. De esta manera podemos obtener el valor de i.
Sustituyendo en la expresión en la que aparece K e i, calculamos el valor de K, que era lo que se pedía.





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Dado  el lado de un polígono regular, se pide calcular el área del mismo.
Tenemos un pentágono del que conocemos su lado de dos unidades. Vamos a calcular el área de ABF.
El ángulo alfa será un quinto de los 360° que cubre la circunferencia completa, por tanto al dividir 360° entre cinco tenemos 72° que corresponden al ángulo alfa. A continuación dividimos este ángulo entre dos obteniendo 36,5°. Si AB tiene dos unidades, la mitad AG tendrá una unidad. Sabemos que el seno de 36,5° es igual al cateto opuesto AG dividido entre la hipotenusa AF.
El seno de 36,5° es 0,6, es igual a 1 dividido entre AF, despejando tenemos que AF vale 1,7. Tenemos la hipotenusa por lo que podemos obtener el valor del cateto FG aplicando el teorema de Pitágoras, su valor es 1,38.
Calculamos el área del triángulo ABF multiplicando esta altura 1,38  por la base 2 y dividiéndolo entre dos, obtenemos así que el área de un quinto del pentágono que es 1,38 unidades cuadradas, que multiplicado por cinco determina el área de todo el pentágono, y cuyo valor es 6,9 unidades cuadradas


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Los triángulos oblicuángulos son aquellos que no son rectángulos, que no tienen ningún ángulo de 90°. En todo triángulo oblicuángulo la relación de un lado entre el valor del seno correspondiente al ángulo opuesto es siempre constante.
En el dibujo, 8,25 es al seno de 58,57°, la medida del lado 6,71 es al seno del ángulo k. Despejando seno de k es igual a 0,69. El ángulo cuyo seno es 0,69 corresponde a 43,96°.



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Queremos calcular la dimensión del lado a y tenemos el ángulo opuesto y el valor de la dimensión de los otros dos lados bc.
Según el teorema del seno (aparece en el rectángulo azul), tenemos que sustituir el valor de b c donde corresponde en la fórmula y obtener el valor del coseno del ángulo B y sustituirlo también al final de la fórmula. Sustituyendo los datos tenemos que el valor del lado del triángulo a es 6,32.




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Circunferencia unitaria


Una circunferencia unitaria trigonométrica es aquella que tiene por radio la unidad, con un triángulo rectángulo inscrito con sus vértices incidentes, los correspondientes a los extremos de la hipotenusa, en el centro de la circunferencia y en un punto de la misma, respectivamente. Como el seno CD es el cateto opuesto dividido entre la hipotenusa AC, si le damos a la hipotenusa el valor uno, ya no hay que hacer la división pues el valor del segmento rojo dividido entre el valor uno del radio de la circunferencia es el segmento rojo, por tanto el seno del ángulo es directamente el valor que vemos en la imagen correspondiente al segmento CD, en color rojo.
En la circunferencia están señalados el seno del ángulo 37, 52º (segmento rojo CD de 0,61 unidades), el coseno AD en color negro con valor de 0,79 unidades, la tangente GE en color verde cuya dimensión es 0,77, la secante AG en color azul con valor de 1, 26, la cotangente BF en color naranja con valor 1,3 y la cosecante en color azul y marrón, la suma de los dos segmentos AG -GF, esto es, el segmento AF de dimensión 1, 64.
Podemos mover el punto mayor de color rojo C sobre el arco de circunferencia del primer cuadrante obteniendo nuevos triángulos rectángulos y observaremos cómo varían todas las dimensiones de los segmentos correspondientes a las razones trigonométricas. Por ejemplo, observamos que cuando el punto rojo pasa por la bisectriz de los dos ejes cartesianos, o sea cuando es un triángulo rectángulo cuya hipotenusa forma 45° con cada uno de los dos catetos, el seno tiene el mismo valor que el coseno, asimismo la tangente y la cotangente también coinciden en su dimensión, la misma que el radio de la circunferencia, ya que los ejes cartesianos acotados por la circunferencia y ambos segmentos forman un cuadrado perfecto. Observamos que coinciden también la secante y la cosecante.
Al ir moviendo el punto rojo hacia el punto del cuadrante E observamos que el valor del seno del ángulo y de la tangente del ángulo se hacen cada vez menores, cuando los puntos coinciden el seno del ángulo es cero y la tangente también tenemos que es cero, mientras que el coseno es coincidente con el radio de la circunferencia, o sea uno.
Podemos observar también que la cosecante es la recíproca del seno, que la secante lo es del coseno del ángulo y que la tangente del ángulo lo es de la cotangente del ángulo. Esto quiere decir que por ejemplo el seno del ángulo es igual a uno partido por la cosecante del ángulo, si despejamos la cosecante, está dividiendo y pasa multiplicando por lo que el seno del ángulo multiplicado por la cosecante del ángulo da como resultado la unidad, eso es lo que significa que la cosecante y el seno del ángulo son funciones recíprocas. Las funciones recíprocas son aquellas que al multiplicarlas por su función directa se obtiene como resultado la unidad.







Circunferencia unitaria - GeoGebra Hoja Dinámica

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